secciones konikas

Secciones cónicas
(Matemática Álgebra Cónicas)
Círculo
Elipse (h)
Parábola (h)
Hipérbola (h)
Definición:Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono.
Elipse (v)
Parábola (v)
Hipérbola (v)Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear un círculo, un elipse, una parábola o una hipérbola; o en el caso especial cuando el plano se pone en contacto con el vértice: un punto, una línea o 2 líneas intersectadas.
Punto
Línea
Línea doble
La ecuación general de una sección cónica:Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
El tipo de sección puede ser descubierta por el signo de: B2 - 4AC
Si B2 - 4AC es...
pues la curva es...
< 0
un elipse, un círculo, un punto o ninguna curva.
= 0
una parábola, 2 líneas paralelas, 1 línea o ninguna curva.
> 0
una hipérbola o 2 líneas intersectadas.
Las secciones cónicas. Para, en cada uno de los abajo mencionados casos, lograr un centro (j, k) en vez de (0, 0), reponga cada término x con un (x-j) y cada témino y con un (y-k).

Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbola
Ecuación (vértice horizontal):
x2 + y2 = r2
x2 / a2 + y2 / b2 = 1
4px = y2
x2 / a2 - y2 / b2 = 1
Ecuaciones de las asíntotas:



y = ± (b/a)x
Ecuación (vértice vertical):
x2 + y2 = r2
y2 / a2 + x2 / b2 = 1
4py = x2
y2 / a2 - x2 / b2 = 1
Ecuaciones de las asíntotas:



x = ± (b/a)y
Variables:
r = el radio del círculo
a = el radio mayor (= 1/2 la longitud del eje mayor)b = el radio menor (= 1/2 la longitud del eje menor)c = la distancia desde el centre al foco
p = la distancia desde el vértice al foco (o a la directriz)
a = 1/2 la longitud del eje mayorb = 1/2 la longitud del eje menorc = la distancia desde el centro al foco
Excentricidad:
0

c/a
c/a
El relación al foco:
p = 0
a2 - b2 = c2
p = p
a2 + b2 = c2
Definición: es el conjunto de todos los puntos que cumple la condición...
la distancia al origen es constante
la suma del las distancias a cada foco es constante
la distancia al foco = la distancia a la directriz
la diferencia entre las distancias a cada foco es constante
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seccciones conicas

En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal en dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la elipse y otras cónicas y curvas regulares. La geometría analítica se ocupa de dos tipos clásicos de problemas. El primero es: dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos, encontrar la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos. Siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea recta que pasa por A y B cumplen la ecuación lineal x + y = 5; en general, ax + by = c. El segundo tipo de problema es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión. Por ejemplo, una
Circunferencia de radio 3 y con su centro en el origen es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen x2 + y2 = 9. Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de construcción, como la bisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto, o dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta. La geometría analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas pues ha unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones espaciales). El estudio de la geometría no euclídea y de las geometrías de espacios con más de tres dimensiones no habría sido posible sin un tratamiento analítico. Del mismo modo, las técnicas de la geometría analítica, que hacen posible la representación de números y expresiones algebraicas en términos geométricos, han ayudado al cálculo, la teoría de funciones y otros problemas de las matemáticas avanzadas.
Historia de las Secciones Cónicas
Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, en la que sobresalieron por su contribución e importantes logros los matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.
Una de las primeras obras de las que se tiene conocimiento es Libro de los lugares sólidos, de Aristeo, que data de finales del siglo IV a.C. En esta obra las secciones cónicas se obtienen por secciones de cilindros y conos por planos.
Por algunos escritos de la época se sabe que Euclides, además de Los Elementos, obra de gran importancia y base de la Geometría clásica, escribió un tratado en cuatro tomos sobre las secciones cónicas de los que lamentablemente no se conservó ejemplar alguno.
Todas estas obras quedaron en un segundo plano, pasando algunas al olvido, después de la aparición de las Cónicas de Apolonio, magnífico compendio en ocho volúmenes que recogían todo el saber de la época sobre las secciones cónicas. Después de su aparición ningún otro matemático de la antigüedad realizó esfuerzo alguno por mejorarla.
De esta conocida obra tan sólo se han conservado los cuatro primeros de sus ocho libros en el griego original. El matemático árabe Thabit ibn Qurra tradujo los tres siguientes al árabe antes de que desapareciera su versión griega, conservándose esta traducción hasta nuestros días. En 1710, el matemático inglés Edmund Halley publicó la primera traducción al latín de los siete libros conservados, y desde entonces se han sucedido las publicaciones en varias lenguas. Del octavo libro no se tienen muchas referencias.

eaciones trigo 2

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

ecuaciones trigonometricas

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Se suponía que este tema era el último del año y que con él terminábamos el programa de la asignatura. Para variar otra vez le erramos.
Entre cuecas, empanadas y un brindis por nuestro Chile, nos vamos con la primera "patita" de ecuaciones trigonométricas.
La ecuación trigonométrica es una igualdad que se cumple para ciertos valores del argumento.
Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del ángulo que satisface dicha ecuación. (A veces es más de un valor).
Ejemplo:
Resolvamos la ecuación trigonométrica para 0º < x < 90º

identidades trigonometricas (angulo doble)

Identidades del Ángulo Doble [editar]
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sin(x + x) = sin(2x)) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.



Fórmulas para la suma del doble del ángulo
sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
cos(2x) = 2cos2(x) - 1
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)
cos(2x) = 1 - 2sen2(x)
Fórmulas del ángulo doble y el ángulo medio.
sin (2a) = 2 sin a cos a
cos (2a) = cos2 a - sin2 a
Esta última fórmula, si se combina con la identidad Pitagórica, entrega dos variantes
cos(2 a) = 2 cos2 a - 1
cos(2 a) = 1 - 2 sin2 a

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